Here it is. It is highly non-trivial that the left hand side, involving sum of powers of integers, yields something like e. Elegant isn’t it. To prove it you need Euler-Maclaurin formula. It is said to be one of the indispensable tools in any mathematitian’s bag of tricks but not taught in any undergraduate course - regardless of its elementary nature, nothing more advanced than calculus. The proof can be found here
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据说是来自Ashvin Vishwanath (出处大概是这里)。一句话，就是用动量和坐标算符构造出一维谐振子的基态投影算符。
如果不要求表达式封闭，那么可以很容易找到如下的无穷乘积：
满足问题的要求。但如果要求是封闭形式，我还没想出来。
当然这个比较简单粗暴，不够elegant。knot师兄给了一个很优美的解答：
Physics Ahead
昨天组会上Chris Varney讲了下他PhD期间关于Hubbard模型的数值工作，用的办法是Determinant QMC。众所周知QMC应用于Fermion时会出现符号问题（也包括有frustration的boson体系），除去少数特殊情形（negative Hubbard model, Hubbard model at half-filling)。例如用QMC去算Hubbard模型就会发现，符号问题最严重的参数区域，相图上恰好就对应于物理上最有趣的部分——d波超导。用Chris的话说就是It basically kills you from anything interesting. Troyer似乎还证明过QMC是NP完全问题，不存在一般的解决方法。听起来还是相当令人沮丧的。目前看来，对强关联体系，数值方法并不比解析方法号多少——数值方法比较有效的系统，大部分都还是可以用解析手段来研究的，例如一维体系，DMRG非常成功，解析上则有bosonization。而万能的Exact diagonalization或者说暴力穷举法，只能做一些很小的系统，离热力学极限差的非常远。
这几个月来科研上也碰壁连连，尝试了很多想法，但是都缺少一些物理上的insight，又不想冒冒然就投入大量时间去计算，所以感觉就是挖了好多浅坑，既不敢深挖也不敢填上。最近和老板讨论了几次之后整理了一下思路，把这些乱七八糟的东西最后归结为三个比较明确的问题，其中有两个我想至少是能看到一些结果的，至于结果怎么样，是否足够新奇有趣，暂时还没法判断。另一个问题还比较混沌，虽然有了一些初步的思路，但如果真想做下去貌似只能依赖于数值方法，因此暂时就搁在那儿了。
一直以来写latex都用一个叫LEd的IDE，这两天终于下定决心回归vim的怀抱。本科时就用过vim+latex-suite，但是当时完全没有去挖掘latex-suite的功能，基本上算是白安装了。latex-suite确实是写tex的无上利器，光是各种environment的自动插入和C-j转跳就已经足够吸引人，以后还是要多多熟练一下。
Physics Ahead
跟审稿人吵了两轮架之后，论文终于有着落了。这个project是从去年11月开始做的，主要结果12月份就已经做出来了。计算虽然有些繁琐，但是物理上还是相当直截了当的。至此结果还不多，不足以写4页的prl论文（汗……）。然后又考虑了一些fluctuations的效应。走了很多弯路，花了很多时间才想清楚该怎么处理比较合适。文章的第一稿有些仓促，因为要赶DARPA的项目截止时间，尽快贴到arxiv上去。
投给prl之后，两个审稿人都说文章写得很不清楚，特别是referee B，洋洋洒洒写了十来条意见（几乎都能猜出来他是谁，根据他推荐的文献:)）。好吧，拿回来之后猛改，把主要的计算过程几乎都重写了一遍，再上。这回傲娇的referee B被满足了。但是本来态度暧昧的referee A来了个大转弯，给我们指出一个错误。我当时仔细一查，脑门都绿了，还真是一个低级错误，本科生量子力学级别的错误……关键是四个作者都没人想到把这一步检查一下，心里那后悔就不用提了。改过之后，终于把文章卖出去了……
第一篇论文，能按预期在prl上发表，心里还是很高兴的，哈哈。不过这回的运气成分很大，我老板都说非常surprised居然被PRL接收了……
Physics Ahead