An elegant result about sum of powers

February 5th, 2010

limiteuler1

Here it is. It is highly non-trivial that the left hand side, involving sum of powers of integers, yields something like e. Elegant isn’t it.  To prove it you need Euler-Maclaurin formula. It is said to be one of the indispensable tools in any mathematitian’s bag of tricks but not taught in any undergraduate course - regardless of its elementary nature, nothing more advanced than calculus. The proof can be found here

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Beautiful Ones

December 23rd, 2009

此外还有The Verve的Bittersweet Symphony

Kaleidoscope

趣题一则

December 22nd, 2009

据说是来自Ashvin Vishwanath (出处大概是这里)。一句话,就是用动量和坐标算符构造出一维谐振子的基态投影算符。

如果不要求表达式封闭,那么可以很容易找到如下的无穷乘积:

ho_eq满足问题的要求。但如果要求是封闭形式,我还没想出来。

当然这个比较简单粗暴,不够elegant。knot师兄给了一个很优美的解答:

ho_projector_2

Physics Ahead

符号问题

December 12th, 2009

昨天组会上Chris Varney讲了下他PhD期间关于Hubbard模型的数值工作,用的办法是Determinant QMC。众所周知QMC应用于Fermion时会出现符号问题(也包括有frustration的boson体系),除去少数特殊情形(negative Hubbard model, Hubbard model at half-filling)。例如用QMC去算Hubbard模型就会发现,符号问题最严重的参数区域,相图上恰好就对应于物理上最有趣的部分——d波超导。用Chris的话说就是It basically kills you from anything interesting. Troyer似乎还证明过QMC是NP完全问题,不存在一般的解决方法。听起来还是相当令人沮丧的。目前看来,对强关联体系,数值方法并不比解析方法号多少——数值方法比较有效的系统,大部分都还是可以用解析手段来研究的,例如一维体系,DMRG非常成功,解析上则有bosonization。而万能的Exact diagonalization或者说暴力穷举法,只能做一些很小的系统,离热力学极限差的非常远。

这几个月来科研上也碰壁连连,尝试了很多想法,但是都缺少一些物理上的insight,又不想冒冒然就投入大量时间去计算,所以感觉就是挖了好多浅坑,既不敢深挖也不敢填上。最近和老板讨论了几次之后整理了一下思路,把这些乱七八糟的东西最后归结为三个比较明确的问题,其中有两个我想至少是能看到一些结果的,至于结果怎么样,是否足够新奇有趣,暂时还没法判断。另一个问题还比较混沌,虽然有了一些初步的思路,但如果真想做下去貌似只能依赖于数值方法,因此暂时就搁在那儿了。

一直以来写latex都用一个叫LEd的IDE,这两天终于下定决心回归vim的怀抱。本科时就用过vim+latex-suite,但是当时完全没有去挖掘latex-suite的功能,基本上算是白安装了。latex-suite确实是写tex的无上利器,光是各种environment的自动插入和C-j转跳就已经足够吸引人,以后还是要多多熟练一下。

Physics Ahead

论文被PRL接收了

August 12th, 2009

跟审稿人吵了两轮架之后,论文终于有着落了。这个project是从去年11月开始做的,主要结果12月份就已经做出来了。计算虽然有些繁琐,但是物理上还是相当直截了当的。至此结果还不多,不足以写4页的prl论文(汗……)。然后又考虑了一些fluctuations的效应。走了很多弯路,花了很多时间才想清楚该怎么处理比较合适。文章的第一稿有些仓促,因为要赶DARPA的项目截止时间,尽快贴到arxiv上去。

投给prl之后,两个审稿人都说文章写得很不清楚,特别是referee B,洋洋洒洒写了十来条意见(几乎都能猜出来他是谁,根据他推荐的文献:))。好吧,拿回来之后猛改,把主要的计算过程几乎都重写了一遍,再上。这回傲娇的referee B被满足了。但是本来态度暧昧的referee A来了个大转弯,给我们指出一个错误。我当时仔细一查,脑门都绿了,还真是一个低级错误,本科生量子力学级别的错误……关键是四个作者都没人想到把这一步检查一下,心里那后悔就不用提了。改过之后,终于把文章卖出去了……

第一篇论文,能按预期在prl上发表,心里还是很高兴的,哈哈。不过这回的运气成分很大,我老板都说非常surprised居然被PRL接收了……

Physics Ahead