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September 1st, 2010
An elegant result about sum of powers
February 5th, 2010
Here it is. It is highly non-trivial that the left hand side, involving sum of powers of integers, yields something like e. Elegant isn’t it. To prove it you need Euler-Maclaurin formula. It is said to be one of the indispensable tools in any mathematitian’s bag of tricks but not taught in any undergraduate course - regardless of its elementary nature, nothing more advanced than calculus. The proof can be found here
趣题一则
December 22nd, 2009
据说是来自Ashvin Vishwanath (出处大概是这里)。一句话，就是用动量和坐标算符构造出一维谐振子的基态投影算符。
如果不要求表达式封闭，那么可以很容易找到如下的无穷乘积：
满足问题的要求。但如果要求是封闭形式，我还没想出来。
当然这个比较简单粗暴，不够elegant。knot师兄给了一个很优美的解答：
符号问题
December 12th, 2009
昨天组会上Chris Varney讲了下他PhD期间关于Hubbard模型的数值工作，用的办法是Determinant QMC。众所周知QMC应用于Fermion时会出现符号问题（也包括有frustration的boson体系），除去少数特殊情形（negative Hubbard model, Hubbard model at half-filling)。例如用QMC去算Hubbard模型就会发现，符号问题最严重的参数区域，相图上恰好就对应于物理上最有趣的部分——d波超导。用Chris的话说就是It basically kills you from anything interesting. Troyer似乎还证明过QMC是NP完全问题，不存在一般的解决方法。听起来还是相当令人沮丧的。目前看来，对强关联体系，数值方法并不比解析方法号多少——数值方法比较有效的系统，大部分都还是可以用解析手段来研究的，例如一维体系，DMRG非常成功，解析上则有bosonization。而万能的Exact diagonalization或者说暴力穷举法，只能做一些很小的系统，离热力学极限差的非常远。
这几个月来科研上也碰壁连连，尝试了很多想法，但是都缺少一些物理上的insight，又不想冒冒然就投入大量时间去计算，所以感觉就是挖了好多浅坑，既不敢深挖也不敢填上。最近和老板讨论了几次之后整理了一下思路，把这些乱七八糟的东西最后归结为三个比较明确的问题，其中有两个我想至少是能看到一些结果的，至于结果怎么样，是否足够新奇有趣，暂时还没法判断。另一个问题还比较混沌，虽然有了一些初步的思路，但如果真想做下去貌似只能依赖于数值方法，因此暂时就搁在那儿了。
一直以来写latex都用一个叫LEd的IDE，这两天终于下定决心回归vim的怀抱。本科时就用过vim+latex-suite，但是当时完全没有去挖掘latex-suite的功能，基本上算是白安装了。latex-suite确实是写tex的无上利器，光是各种environment的自动插入和C-j转跳就已经足够吸引人，以后还是要多多熟练一下。