趣题一则
December 22nd, 2009
据说是来自Ashvin Vishwanath (出处大概是这里)。一句话，就是用动量和坐标算符构造出一维谐振子的基态投影算符。
如果不要求表达式封闭，那么可以很容易找到如下的无穷乘积：
满足问题的要求。但如果要求是封闭形式，我还没想出来。
当然这个比较简单粗暴，不够elegant。knot师兄给了一个很优美的解答：
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符号问题
December 12th, 2009
昨天组会上Chris Varney讲了下他PhD期间关于Hubbard模型的数值工作，用的办法是Determinant QMC。众所周知QMC应用于Fermion时会出现符号问题（也包括有frustration的boson体系），除去少数特殊情形（negative Hubbard model, Hubbard model at half-filling)。例如用QMC去算Hubbard模型就会发现，符号问题最严重的参数区域，相图上恰好就对应于物理上最有趣的部分——d波超导。用Chris的话说就是It basically kills you from anything interesting. Troyer似乎还证明过QMC是NP完全问题，不存在一般的解决方法。听起来还是相当令人沮丧的。目前看来，对强关联体系，数值方法并不比解析方法号多少——数值方法比较有效的系统，大部分都还是可以用解析手段来研究的，例如一维体系，DMRG非常成功，解析上则有bosonization。而万能的Exact diagonalization或者说暴力穷举法，只能做一些很小的系统，离热力学极限差的非常远。
这几个月来科研上也碰壁连连，尝试了很多想法，但是都缺少一些物理上的insight，又不想冒冒然就投入大量时间去计算，所以感觉就是挖了好多浅坑，既不敢深挖也不敢填上。最近和老板讨论了几次之后整理了一下思路，把这些乱七八糟的东西最后归结为三个比较明确的问题，其中有两个我想至少是能看到一些结果的，至于结果怎么样，是否足够新奇有趣，暂时还没法判断。另一个问题还比较混沌，虽然有了一些初步的思路，但如果真想做下去貌似只能依赖于数值方法，因此暂时就搁在那儿了。
一直以来写latex都用一个叫LEd的IDE，这两天终于下定决心回归vim的怀抱。本科时就用过vim+latex-suite，但是当时完全没有去挖掘latex-suite的功能，基本上算是白安装了。latex-suite确实是写tex的无上利器，光是各种environment的自动插入和C-j转跳就已经足够吸引人，以后还是要多多熟练一下。
论文被PRL接收了
August 12th, 2009
跟审稿人吵了两轮架之后，论文终于有着落了。这个project是从去年11月开始做的，主要结果12月份就已经做出来了。计算虽然有些繁琐，但是物理上还是相当直截了当的。至此结果还不多，不足以写4页的prl论文（汗……）。然后又考虑了一些fluctuations的效应。走了很多弯路，花了很多时间才想清楚该怎么处理比较合适。文章的第一稿有些仓促，因为要赶DARPA的项目截止时间，尽快贴到arxiv上去。
投给prl之后，两个审稿人都说文章写得很不清楚，特别是referee B，洋洋洒洒写了十来条意见（几乎都能猜出来他是谁，根据他推荐的文献:)）。好吧，拿回来之后猛改，把主要的计算过程几乎都重写了一遍，再上。这回傲娇的referee B被满足了。但是本来态度暧昧的referee A来了个大转弯，给我们指出一个错误。我当时仔细一查，脑门都绿了，还真是一个低级错误，本科生量子力学级别的错误……关键是四个作者都没人想到把这一步检查一下，心里那后悔就不用提了。改过之后，终于把文章卖出去了……
第一篇论文，能按预期在prl上发表，心里还是很高兴的，哈哈。不过这回的运气成分很大，我老板都说非常surprised居然被PRL接收了……
好好学习，天天向上
August 3rd, 2009
好久没有静下心来看paper了。今天读C. Kane和E. Mele在拓扑绝缘体方面几篇开创性的文章，真是惊喜不断。时间反演对称性在这里起到了关键性的作用，一般情况下它只有破缺了才会引起注意。另一个有趣的题目是电子间的相互作用如何影响拓扑绝缘体，徐岑科和他的老板有一篇文章仔细讨论了这个问题。
如有时间，还是应该过一遍Abrikosov的书，特别是费米液体那一段。这方面的东西正好可以练练微扰论方面的计算。自觉计算能力还很弱小……
昨天和孙锴讨论了一下二维时间反演破坏的超导体拓扑分类的问题，我觉得是一个代数拓扑（虽然很基础……）的漂亮应用。为了避免自旋带来的复杂性，暂时不考虑自旋自由度（我觉得这个分析也可以用于讨论自旋单态的配对，但是自旋三重态就复杂多了），这样Fermi统计就要求Cooper对的空间波函数必须是反对称的，或者说序参量Δk是k的奇函数。根据P. W. Anderson引入的赝自旋表示，从复序参量和自由单粒子能谱ξk可以构造一个3维矢量：mk=(Re Δk,-Im Δk,ξk)，然后定义gk=mk/|mk|。gk的长度是1，因而可以唯一对应于单位球面S2上的一点。这样我们就定义了一个从k空间到单位球面的映射。对连续模型，k空间拓扑等价于S2（无穷远处作为一点），但是如果有周期性边界条件k空间就是一个环面T2。这个差别在这里不是很重要。因此，我们需要研究的就是所有从S2到S2连续映射的同伦分类。
代数拓扑里面，这就相当于计算S2的第二同伦群π2(S2)。一般地我们有πn(Sn)=Z，即这些映射都可以用一个整数来分类，这个整数就是映射的度（degree）。一维情况下，这个度有很直观的解释：winding number（绕数？）。二维也类似，一般情况下即是映射下球面被覆盖了几次。对于我们的问题，所谓的绕数，大致上就是序参量在k空间中Fermi面上有无涡旋（vortex），而相应的拓扑不变量即涡旋度（vorticity）。这个绕数可以用gk严格地写出来。但是，又因为序参量是奇的，绕数要么是零，要么是奇数。只要绕数不等于零则这个超导体是拓扑不平凡的，最近几年研究的很多，称为px+ipy超导体。
拓扑绝缘体
August 2nd, 2009
拓扑绝缘体(topological insulator，简称TI)是这两年凝聚态理论里面很热的一个方向，最早提出这一概念的应该是UPenn的C. Kane。然后就是Stanford的张守晟组，主要是在Quantum Spin Hall体系中的TI。按照我的理解，拓扑绝缘体主要是由以下三点特征来定义（不太严格）
- 其体块(bulk)是一个绝缘体，或者说能谱中有能隙
- 有无能隙的手征(chiral)边缘态，边缘态是topologically protected的：即便有杂质，有相互作用，只要不关闭bulk的能隙就不会影响边缘态的性质。或者说，要破坏边缘态，一定要经过一个量子相变。
- 可以用一个拓扑不变量来刻画其性质
基本上如果前两点满足，那么这个系统就有很大可能性是一个拓扑绝缘体。但是真正要确定其是不是有拓扑序，还是要通过第三条判据。目前讨论的都是无相互作用的体系。其实在实验上最早看到的拓扑绝缘体就是著名的整数量子Hall态。能级的Landau量子化显然满足以上第一点；gapless的edge state则不那么显然，但Halperin的著名工作论证了edge state必须存在，并且是一个一维的手征费米液体（对后来的FQHE中边缘态的理论很有启发）。然后Thouless等人也论证了可以用所谓的第一陈类来刻画其拓扑特性。IQHE是所谓时间反演破坏(Time Reversal Breaking, TRB)的TI的一个典型例子。
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