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Here it is. It is highly non-trivial that the left hand side, involving sum of powers of integers, yields something like e. Elegant isn’t it.  To prove it you need Euler-Maclaurin formula. It is said to be one of the indispensable tools in any mathematitian’s bag of tricks but not taught in any undergraduate course - regardless of its elementary nature, nothing more advanced than calculus. The proof can be found here

此外还有The Verve的Bittersweet Symphony

如果不要求表达式封闭，那么可以很容易找到如下的无穷乘积：

满足问题的要求。但如果要求是封闭形式，我还没想出来。

当然这个比较简单粗暴，不够elegant。knot师兄给了一个很优美的解答：

这几个月来科研上也碰壁连连，尝试了很多想法，但是都缺少一些物理上的insight，又不想冒冒然就投入大量时间去计算，所以感觉就是挖了好多浅坑，既不敢深挖也不敢填上。最近和老板讨论了几次之后整理了一下思路，把这些乱七八糟的东西最后归结为三个比较明确的问题，其中有两个我想至少是能看到一些结果的，至于结果怎么样，是否足够新奇有趣，暂时还没法判断。另一个问题还比较混沌，虽然有了一些初步的思路，但如果真想做下去貌似只能依赖于数值方法，因此暂时就搁在那儿了。

一直以来写latex都用一个叫LEd的IDE，这两天终于下定决心回归vim的怀抱。本科时就用过vim+latex-suite，但是当时完全没有去挖掘latex-suite的功能，基本上算是白安装了。latex-suite确实是写tex的无上利器，光是各种environment的自动插入和C-j转跳就已经足够吸引人，以后还是要多多熟练一下。

投给prl之后，两个审稿人都说文章写得很不清楚，特别是referee B，洋洋洒洒写了十来条意见（几乎都能猜出来他是谁，根据他推荐的文献:)）。好吧，拿回来之后猛改，把主要的计算过程几乎都重写了一遍，再上。这回傲娇的referee B被满足了。但是本来态度暧昧的referee A来了个大转弯，给我们指出一个错误。我当时仔细一查，脑门都绿了，还真是一个低级错误，本科生量子力学级别的错误……关键是四个作者都没人想到把这一步检查一下，心里那后悔就不用提了。改过之后，终于把文章卖出去了……

第一篇论文，能按预期在prl上发表，心里还是很高兴的，哈哈。不过这回的运气成分很大，我老板都说非常surprised居然被PRL接收了……

如有时间，还是应该过一遍Abrikosov的书，特别是费米液体那一段。这方面的东西正好可以练练微扰论方面的计算。自觉计算能力还很弱小……

昨天和孙锴讨论了一下二维时间反演破坏的超导体拓扑分类的问题，我觉得是一个代数拓扑（虽然很基础……）的漂亮应用。为了避免自旋带来的复杂性，暂时不考虑自旋自由度（我觉得这个分析也可以用于讨论自旋单态的配对，但是自旋三重态就复杂多了），这样Fermi统计就要求Cooper对的空间波函数必须是反对称的，或者说序参量Δ_k是k的奇函数。根据P. W. Anderson引入的赝自旋表示，从复序参量和自由单粒子能谱ξ_k可以构造一个3维矢量：m_k=(Re Δ_k,-Im Δ_k,ξ_k)，然后定义g_k=m_k/|m_k|。g_k的长度是1，因而可以唯一对应于单位球面S²上的一点。这样我们就定义了一个从k空间到单位球面的映射。对连续模型，k空间拓扑等价于S²（无穷远处作为一点），但是如果有周期性边界条件k空间就是一个环面T²。这个差别在这里不是很重要。因此，我们需要研究的就是所有从S²到S²连续映射的同伦分类。

代数拓扑里面，这就相当于计算S²的第二同伦群π₂(S²)。一般地我们有π_n(Sⁿ)=Z，即这些映射都可以用一个整数来分类，这个整数就是映射的度（degree）。一维情况下，这个度有很直观的解释：winding number（绕数？）。二维也类似，一般情况下即是映射下球面被覆盖了几次。对于我们的问题，所谓的绕数，大致上就是序参量在k空间中Fermi面上有无涡旋（vortex），而相应的拓扑不变量即涡旋度（vorticity）。这个绕数可以用g_k严格地写出来。但是，又因为序参量是奇的，绕数要么是零，要么是奇数。只要绕数不等于零则这个超导体是拓扑不平凡的，最近几年研究的很多，称为p_x+ip_y超导体。

1. 其体块(bulk)是一个绝缘体，或者说能谱中有能隙
2. 有无能隙的手征(chiral)边缘态，边缘态是topologically protected的：即便有杂质，有相互作用，只要不关闭bulk的能隙就不会影响边缘态的性质。或者说，要破坏边缘态，一定要经过一个量子相变。
3. 可以用一个拓扑不变量来刻画其性质

基本上如果前两点满足，那么这个系统就有很大可能性是一个拓扑绝缘体。但是真正要确定其是不是有拓扑序，还是要通过第三条判据。目前讨论的都是无相互作用的体系。其实在实验上最早看到的拓扑绝缘体就是著名的整数量子Hall态。能级的Landau量子化显然满足以上第一点；gapless的edge state则不那么显然，但Halperin的著名工作论证了edge state必须存在，并且是一个一维的手征费米液体（对后来的FQHE中边缘态的理论很有启发）。然后Thouless等人也论证了可以用所谓的第一陈类来刻画其拓扑特性。IQHE是所谓时间反演破坏(Time Reversal Breaking, TRB)的TI的一个典型例子。

另一个TBS的TI是p+ip的超导体（确切的说，弱耦合的p+ip超导体，强耦合下其拓扑性质完全不同)，它可以视为Bogoliubov准粒子形成的TI。当然p+ip超导体的物理远不止如此（它具有非常惊人的non-Abelian topological order)，但它确实是我认为TI的最简单，最清楚的一个理论模型。通过解Bogoliubov-de Gennes方程，就可以得到能隙和边缘态的所有性质，非常容易理解。

第二个大类是所谓时间反演不变(TRI)的TI，也是当前的研究热点所在。我还在看这方面的文章，等以后有清楚的理解了再来写。但是其基本的物理图像是很简单的：把两个互为时间反演的TBS的TI放在一块。举例来说，在前面提到的IQHE中，我们没有考虑电子的自旋，因为通常强磁场的Zeeman效应使得自旋极化了。现在我们假设能够实现这样的一个磁场：自旋向上的电子感受到一个均匀的磁场B，自旋向下的电子则感受到一个均匀的磁场-B，并且自旋向上和向下的电子有相同的填充数，这样自旋向上和向下的电子分别形成一个整数Hall态。这个体系显然时间反演不变的。光从电荷的角度看，边缘电流方向相反，大小相等，净效果是没有边缘电流。但是如果看自旋的话，则刚好有个净的自旋流（或者说自旋输运）。当然自旋流怎么定义本身是个问题（自旋不像电荷，没有守恒律）。但是简单地可以认为z方向的自旋是守恒的，这就是一个最简单的量子自旋Hall效应(Quantum Spin Hall Effect, QSHE)的“原型”。在这种情况下，边缘态不再是手征费米液体，而被代之以所谓的Helical费米液体。

最简单的量子自旋Hall态示意图

当然，实际上不存在这样一个自选相关的磁场，为了实现这么一个图像，我们需要的是自旋-轨道耦合（大概是Rashba耦合）。在C. Kane最早提出TI这一概念的文章中，他们考虑的就是graphene with spin-orbit coupling。作为类比，还可以考虑在spin-triplet的超导体中，让自旋向上的电子作p+ip的pairing，自旋向下的电子作p-ip的pairing，这样就得到祈晓亮他们讨论的topological superconductor/superfluid.

TRI的TI还可以在三维空间中实现（TRB的TI只能在二维系统中出现）。张守晟和祈晓亮有一篇长文，讨论什么样的拓扑场论能描写TRI的TI。结论相当惊人：二维和三维的TRI TI的有效场论，都可以从四维空间TRI TI的场论通过所谓dimension reduction来得到。

C. Kane的学生，Fu Liang周一要来做报告，正好可以听听这方面的工作。

回到家虽然累的不行，出奇地没有特别犯困。半夜又开始淅淅沥沥地下雨。蝉声永无休止，仿佛夏天的底色。间或一道闪电，将眼前浓稠的黑暗撕开，我很想透过那刹那茫茫夜色的缝隙中看过去。

Lakeside North环境还算不错，窗外都是三层楼高的大树，将枝叶一直伸到我窗前。无事可看松鼠在树枝上，跳着机敏的小碎步。也有不知名的鸟儿，步态十分优雅如同贵妇。傍晚斜阳挂在窗口，是很有几分悠然见南山的意韵。

然而现在只有黑夜，和黑夜中隐约能见轮廓的树枝。

今天充分领略了搬家之苦。也许我要在这住很久吧。

宗白华在书中提到每个文明都会有一个最基本的意象。我忘了他具体说的意象是什么，但有一个现在突然冒了出来：道路。这世界最本质也最神秘的是时间，而道路则是时间在我们所处的广大空间中最直接的展现。这大概是为什么古人如此喜爱“旅人”这个形象的原因。无论承认与否，我们内心深处都会有这样一种在时间中漂泊的感觉。最初的意象，也许就是一个匆匆在路上行走的旅人吧。大地和天空都无边无际，人很渺小。在路上。道路在雾中。只不过在美国是汽车奔跑在高速公路上，而我更愿意走一条小路，迟缓的小路，时间不能停止但脚步可以放慢，大道不是大路。旅是人生，道乃天地。

顺便想到音乐。这也许是所有艺术中最直接参与到时间中的一种形式。乐声响起，乐曲缓缓展开，就仿佛是人在世上走过，最后归于沉寂。